代数 · 常用公式与定理

平方差：$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

完全平方：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$；$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

立方展开：$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

因式分解常见型：提公因式、十字相乘、分组分解、配方法。

一元一次：$ax+b=0\Rightarrow x=-\dfrac{b}{a}$

二元一次组：$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$（消元/代入）

一元二次求根：$ax^2+bx+c=0\Rightarrow x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

一次函数：$y=kx+b$（斜率 $k$，截距 $b$）；反比例函数：$y=\dfrac{k}{x}$。

指数律：$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$；$(a^m)^n=a^{mn}$；$\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$

负指数：$a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$（$a\ne0$）

根式：$\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot\sqrt b$（$a,b\ge0$）；$(\sqrt a)^2=a$；有理化与化简。

绝对值定义：$|x|=\begin{cases}x,&x\ge0\\ -x,&x<0\end{cases}$

不等式运算：同向加减不变；乘以负数需方向取反；区间表示同解集合。

两点距离：$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$；中点：$M\big(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\big)$。

斜率：$k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$；直线：点斜式 $y-y_1=k(x-x_1)$、两点式 $y-y_1=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$。

等差数列：$a_n=a_1+(n-1)d$；前 $n$ 项和：$S_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}$。

比例建模：正比例 $y\propto x$；反比例 $y\propto \dfrac{1}{x}$ 的应用题。

统计量：均值 $\overline{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}$，中位数、众数。

概率：$P=\dfrac{\text{有利}}{\text{全部}}$；互斥事件：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$；独立事件：$P(AB)=P(A)\cdot P(B)$。