通用步骤
审题→定义量→画图/列表→统一单位→列式/方程→验证；核对维度与数量级。
行程问题（相遇/追及/往返/平均速度）
相遇：$t=\dfrac{s}{v_1+v_2}$；追及（同向距差 $d$）：$t=\dfrac{d}{v_{\text{快}}-v_{\text{慢}}}$；平均速度：全程路程/总时间。
例题·相遇：$s=180\,\text{km}$，$v_1=60$、$v_2=30\,\text{km/h}$；$t=2\,\text{h}$。
例题·追及（同向）：$v_1=8$、$v_2=6\,\text{m/s}$，$d=30\,\text{m}$；$t=\dfrac{30}{8-6}=15\,\text{s}$。
例题·追及（变速）：甲先以 $6\,\text{m/s}$ 跑 $10\,\text{s}$，后以 $8\,\text{m/s}$；乙始终 $6\,\text{m/s}$，初距 $24\,\text{m}$。甲前 $10\,\text{s}$ 跑 $60\,\text{m}$，距差变为 $24+60-60=24$；之后相对速度 $8-6=2$，追及时间 $t=\dfrac{24}{2}=12\,\text{s}$，总 $22\,\text{s}$。
例题·平均速度：去 $60\,\text{km}$ 以 $60$，返 $60\,\text{km}$ 以 $30$；$v_\text{avg}=\dfrac{120}{\tfrac{60}{60}+\tfrac{60}{30}}=40\,\text{km/h}$。
工程问题（合作/分工/轮班）
总工作量设为 $1$；效率相加；$t=\dfrac{1}{r_1+r_2}$；单独完成 $t_i=\dfrac{1}{r_i}$。
例题·合作：A $6\,\text{h}$、B $4\,\text{h}$；$t=\dfrac{12}{5}=2.4\,\text{h}$。
周期安排：工作-休息循环，用“周期单位产量/用时”累加。
比例与分配（总量/权重）
总量 $T$ 按比 $m:n$ 分配：$A=\dfrac{m}{m+n}T$，$B=\dfrac{n}{m+n}T$；涨跌幅：新值=原值$\times(1\pm p)$。
差倍问题
设甲= $kx$，乙= $x$，差 $d$：$(k-1)x=d\Rightarrow x=\dfrac{d}{k-1}$，甲 $=\dfrac{kd}{k-1}$。
例题：甲比乙多 $10$，甲是乙的 $3$ 倍。$k=3,d=10\Rightarrow x=5$（乙），甲 $=15$。
和倍问题
设甲= $k\cdot x$，乙= $x$，和 $S$：$(k+1)x=S\Rightarrow x=\dfrac{S}{k+1}$，甲 $=\dfrac{kS}{k+1}$，乙 $=\dfrac{S}{k+1}$。
例题：甲乙和 $100$，甲是乙的 $4$ 倍：$x=\dfrac{100}{5}=20$（乙），甲 $=80$。
倍比问题
比值 $A:B=m:n$，总量 $T$：$A=\dfrac{m}{m+n}T,\ B=\dfrac{n}{m+n}T$；已知一项与比求另一项：$A=\dfrac{m}{n}B$。
例题：$A:B=3:2$，$T=250$；$A=150$，$B=100$。
利润与折扣
利润=售价−成本；利润率 $=\dfrac{\text{利润}}{\text{成本}}$；折上折相乘。
例题：成本 $100$，加价 $25\%$ 后 $9$ 折；售价 $112.5$；利润 $12.5$；利润率 $12.5\%$。
浓度与混合
溶质守恒：$m=cV$；加水：$c'=\dfrac{m}{V+\Delta V}$；混合：$c'=\dfrac{c_1V_1+c_2V_2}{V_1+V_2}$。
例题：$10\%·200\,\text{mL}$ 与 $30\%·100\,\text{mL}$ 混合；$\approx16.67\%$。
铺砖问题
面积法近似：砖数 $\approx \dfrac{\text{房间面积}}{\text{单砖面积}}$（忽略缝隙与裁切）。
整齐铺设：房间尺寸能被砖尺寸整除；或用最小公倍数协调尺寸（减少切割）。
例题：房间 $6\,\text{m}\times4\,\text{m}$，砖 $20\,\text{cm}\times20\,\text{cm}$。横向 $600/20=30$ 块，纵向 $400/20=20$ 块；总 $30\times20=600$ 块。
修篱笆（围栏）长度
基本周长：$P=\text{各边长度之和}$；若某边靠墙/河且无需围，则去掉该边。
矩形：$P=2(a+b)$；一边不围时周长为另三边和，如靠长为 $b$ 的一边不围则 $P=2a+b$，靠长为 $a$ 的一边不围则 $P=a+2b$。
圆形：$C=2\pi r$；半圆独立围栏为 $\pi r+2r$；半圆贴墙（直径贴墙）仅需弧长 $\pi r$。
组合图形：取外轮廓的总长度，重合/内接边不重复计。
例题1：矩形菜地 $30\,\text{m}\times20\,\text{m}$，一条长边贴墙不围，围栏长度 $=30+20+30=80\,\text{m}$。
例题2：半圆花坛半径 $r=5\,\text{m}$，直径贴墙，围栏长度为弧长 $\pi r\approx15.71\,\text{m}$。
修篱笆（围地面积）
矩形面积：$S=ab$；三角形：$S=\tfrac{1}{2}bh$；圆：$S=\pi r^2$；半圆：$S=\tfrac{1}{2}\pi r^2$；组合图形为加减法求和。
固定围栏长度求最大面积（贴墙三边）：设两宽为 $a$、一长为 $b$，约束 $2a+b=L$，面积 $S=ab=a(L-2a)$，最优 $a=\tfrac{L}{4},\ b=\tfrac{L}{2}$，最大面积 $S_{\max}=\tfrac{L^2}{8}$。
例题1（最优矩形贴墙）：$L=100\,\text{m}$，$a=25\,\text{m}$，$b=50\,\text{m}$，$S_{\max}=25\times50=1250\,\text{m}^2$。
例题2（半圆由弧长给出）：围栏只在弧上，$L=\pi r\Rightarrow r=\tfrac{L}{\pi}$，面积 $S=\tfrac{1}{2}\pi r^2=\tfrac{L^2}{2\pi}$。
鸡兔同笼
设鸡 $x$、兔 $y$：$\begin{cases}x+y=H\\ 2x+4y=L\end{cases}$。代入消元或“全假设法”。
例题：$H=35,L=94$。$y=35-x$；$2x+4(35-x)=94\Rightarrow -2x=-46\Rightarrow x=23$（鸡），$y=12$（兔）。
过河问题（容量/返回约束）
容量 $2$ 且需有人返航时，最少过河次数近似：$2n-3$（$n\ge2$），策略：两人过河→一人返回→两人过河→一人返回…
例题：$n=5$ 人，最少约 $2\times5-3=7$ 次（具体受额外约束影响）。
跳青蛙（台阶路径计数）
一次跳 $1$ 或 $2$ 级，走法数满足斐波那契：$f(n)=f(n-1)+f(n-2)$，$f(1)=1,f(2)=2$，故 $f(n)=F_{n+1}$。
例题：$n=10$ 台阶，走法 $F_{11}=89$。
流水行船（顺/逆流、相遇/往返）
有效速度：$v_{\text{顺}}=v_b+v_s$，$v_{\text{逆}}=v_b-v_s$；往返时间 $t=\dfrac{s}{v_b+v_s}+\dfrac{s}{v_b-v_s}$。
例题·往返：$v_b=8,\ v_s=2\,\text{km/h}$，$s=24\,\text{km}$。顺流 $2.4\,\text{h}$，逆流 $4\,\text{h}$；总 $6.4\,\text{h}$。
例题·相遇：两船相向，$v_1=8,\ v_2=7,\ v_s=2$；相对速度 $=(8+2)+(7-2)=15$，$s=30\,\text{km}$；$t=2\,\text{h}$。
行程进阶（环形/多车/停留）
环形相遇：$t=\dfrac{L}{v_1+v_2}$；同向追及：$t=\dfrac{L}{|v_\text{快}-v_\text{慢}|}$；追及圈数 $=\left\lfloor\dfrac{(v_\text{快}-v_\text{慢})t}{L}\right\rfloor$。
多段速度：总时间 $t=\sum\dfrac{s_i}{v_i}$；平均速度 $=\dfrac{\sum s_i}{\sum \dfrac{s_i}{v_i}}$（非算术平均）。
含停留：停留时间累加进总时间，路程不变。
例题：$L=400\,\text{m}$，$v_1=5,\ v_2=3\,\text{m/s}$；相遇 $t=50\,\text{s}$；同向追及 $t=200\,\text{s}$。
工程进阶（水池注排/漏水/交替）
净效率：注排同时 $r_{\text{净}}=r_{\text{注}}-r_{\text{排}}$；完工时间 $t=\dfrac{1}{r_{\text{净}}}$。
漏水常量：有效效率 $r_{\text{效}}=r- r_{\text{漏}}$；$t=\dfrac{1}{r_{\text{效}}}$。
交替轮班：按周期“单位产量/用时”累加，或逐段列式求和。
例题：注水 $1/6$/h，排水 $1/10$/h；$r_{\text{净}}=1/15$；$t=15\,\text{h}$。
计费与分段计费（阶梯价）
分段单价累计：设阈值 $T_i$、单价 $p_i$，消费 $Q$ 的费用 $C=\sum p_i\cdot\Delta q_i$（逐段截取 $\Delta q_i$）。
例题：$0\text{-}100$ 度 $0.5$，$100\text{-}200$ 度 $0.8$，超出 $1.0$；$Q=230$：$C=100\times0.5+100\times0.8+30\times1.0=160$。
金融类（单利/复利/年金/税）
单利：$I=Prt$，本息 $A=P(1+rt)$。
复利：$A=P(1+r)^n$。
分期（年金）：月利率 $i$、期数 $n$，每期还款 $A=P\cdot\dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}$。
含税价与净价：净价 $=\dfrac{含税价}{1+\text{税率}}$。
例题：$P=10000,\ r=5\%,\ n=3$；复利 $A\approx11576.25$。含税 $113$（税 $13\%$），净价 $100$。
概率与计数（抽球/排列组合/二项）
不放回：两红概率 $=\dfrac{\binom{R}{2}}{\binom{R+B}{2}}$；放回：两红 $=(\tfrac{R}{R+B})^2$。
排列组合：$P(n,k)=\dfrac{n!}{(n-k)!}$，$C(n,k)=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$。
二项分布：$X\sim\text{Bin}(n,p)$，$\mathbb{P}(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$。
例题：8 球中 5 红 3 蓝，不放回抽 2 球都红：$\dfrac{\binom{5}{2}}{\binom{8}{2}}=\dfrac{10}{28}=\dfrac{5}{14}$。
容斥应用
两类：$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$。
三类：$|A\cup B\cup C|=\sum|\cdot|-\sum|\cdot\cap\cdot|+|A\cap B\cap C|$。
例题：班级 30 人，数学 18、英语 20、同时 12；至少一门 $=18+20-12=26$。
时钟问题（指针夹角/重合）
夹角：$\theta=|30H-5.5M|$（度）。重合时刻：分针数 $M=\dfrac{60H}{11}$。
例题：3 点重合：$M=\tfrac{180}{11}\approx16\tfrac{4}{11}$ 分。
牛吃草（增长与消耗）
设初始草量 $G_0$，每日增长 $r$，每头牛每日吃 $c$。$n$ 头牛 $a$ 天吃完：$G_0+ar=anc$。
若另有 $m$ 头牛 $b$ 天吃完：$G_0+br=bmc$；两式联立可解 $G_0,r,c$ 或进一步求其他天数。
例题：$20$ 头 $10$ 天、$25$ 头 $8$ 天吃完，求 $15$ 头几天：联立解得 $c$ 与 $r$，代入 $G_0+tr=15tc$ 求 $t$。
年龄问题（差不变/倍数条件）
差不变：设现今 $A,B$，差 $d=A-B$ 恒定；含“若干年后/前”用 $A\pm t,B\pm t$ 建方程。
倍数条件：如“若干年后 $A:B=m:n$”，列 $\dfrac{A+t}{B+t}=\dfrac{m}{n}$ 与差/和联立。
例题：5 年后 $A:B=3:2$，现差 $10$；$\dfrac{A+5}{B+5}=\dfrac{3}{2}$ 与 $A-B=10$ 联立，解得 $A=25,B=15$。
天平称量/砝码
三进制最小砝码组：$1,3,9,27,\dots$ 可在双盘平衡下称 $1\text{-}40$ 全部整数。
平衡条件：左盘质量之和 $=$ 右盘质量之和。
例题：称 $40$：放 $40$ 在一侧，另一侧放 $27+9+3+1$ 抵消。
容器倒水/量杯（裴蜀定理）
可量条件：能量出体积 $c$ 当且仅当 $\gcd(a,b)\mid c$ 且 $c\le\max(a,b)$。
倒换步骤：灌满→倒入→倒空→继续，直到得到目标体积。
例题：量 $4\,\text{L}$（$3\text{L}$ 与 $5\text{L}$）：装满 $5$ 倒入 $3$（余 $2$）；倒空 $3$；再从 $5$ 向 $3$ 倒至满（$5$ 余 $4$）。
分配优化与最优方案（贪心/背包）
硬币找零（规范币种）贪心最优：如 $1,2,5,10$；目标 $17$：$10+5+2$。
0/1 背包近似：按价值密度 $v/w$ 贪心选取可得近似最优；严格最优需动态规划。
数论应用（整除/余数/同余/最大公因数/最小公倍数）
同余：$x\equiv a\pmod m$；中国剩余定理用于多模同余求解。
例题：$x\equiv2\pmod3,\ x\equiv1\pmod4$，解 $x=5+12k$（$k\in\mathbb{Z}$）。
周期问题：用 $\text{lcm}$ 协调周期，求同时发生的时刻或最短重合时间。
期望与方差（线性与直觉）
线性性：$\mathbb{E}[X+Y]=\mathbb{E}[X]+\mathbb{E}[Y]$；二项分布 $\mathbb{E}[X]=np,\ \mathrm{Var}(X)=np(1-p)$。
例题：抛硬币 $5$ 次，期望正面 $2.5$，方差 $1.25$。
比例增长/折上折逆推
连续涨跌：$\text{最终}=\text{初始}\cdot\prod(1\pm p_i)$；“涨 $10\%$ 再跌 $10\%$”净变 $-1\%$。
逆推原价：已知最终价与折扣，原价 $=\dfrac{\text{最终}}{1-\text{折扣}}$（或按多次折扣依次除）。
例题：先涨 $20\%$ 再跌 $10\%$：$1.2\times0.9=1.08$，净涨 $8\%$。
图形几何应用（相似/截比/阴影面积）
相似测高：树高 $=\dfrac{\text{树影}}{\text{杆影}}\times \text{杆高}$（太阳角相同）。
截比：一点将线段按 $m:n$ 分：$\overrightarrow{OP}=\dfrac{n\overrightarrow{OA}+m\overrightarrow{OB}}{m+n}$。
阴影面积：拆分/拼接成基本图形，加减求和。
例题：树影 $12$，杆高 $2$、杆影 $3$；树高 $=12/3\times2=8$。
扩展题型
更多题型可按守恒/差分/计数/最优化思路建模。
常见陷阱：单位未统一、平均速度误用算术平均、忽略守恒或约束条件、题干语义误读。