数学基础知识 · 公式速查

加法交换律：$a+b=b+a$；乘法交换律：$a\times b=b\times a$

加法结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$；乘法结合律：$(a\times b)\times c=a\times(b\times c)$

乘法对加法分配律：$a\times(b+c)=a\times b+a\times c$

四则优先级：先乘除后加减；有括号先算括号。

分数约分与通分：$\dfrac{a}{b}=\dfrac{ka}{kb}$；$\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$

小数与分数互化：$0.75=\dfrac{3}{4}$；$\dfrac{1}{8}=0.125$

正方形：周长 $P=4a$；面积 $S=a^2$

长方形：周长 $P=2(a+b)$；面积 $S=a\times b$

三角形：面积 $S=\dfrac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}=\dfrac{1}{2}bh$

平行四边形：面积 $S=\text{底}\times \text{高}=bh$

梯形：面积 $S=\dfrac{(\text{上底}+\text{下底})\times \text{高}}{2}=\dfrac{(a+b)h}{2}$

圆：周长 $C=2\pi r$；面积 $S=\pi r^2$

正方体：体积 $V=a^3$

长方体：体积 $V=\text{长}\times\text{宽}\times\text{高}=lwh$

单位换算：$1\,\text{L}=1\,\text{dm}^3$；$1\,\text{mL}=1\,\text{cm}^3$

路程公式：$s=v\times t$

速度公式：$v=\dfrac{s}{t}$

时间公式：$t=\dfrac{s}{v}$

百分数与分数：$x\%=\dfrac{x}{100}$；例如 $75\%=\dfrac{3}{4}$

比的基本性质：$a:b=ka:kb\ (k>0)$；$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow ad=bc$

比率换算：$\dfrac{a}{b}=\dfrac{ka}{kb}$；求一个数是另一个数的百分之几：$\dfrac{部分}{整体}\times 100\%$

直线：没有端点，向两侧无限延伸；两点确定一条直线。

线段：直线的一部分，有两个端点且长度有限；长度记作 $|AB|$。

射线：从一点出发向一侧无限延伸的直线部分。

角：以公共端点的两条射线组成；顶点、边；分类：锐角（$0^\circ\!\text{~到~}90^\circ$）、直角（$90^\circ$）、钝角（$90^\circ\!\text{~到~}180^\circ$）、平角（$180^\circ$）、周角（$360^\circ$）。

角度：度与弧度：$\pi\,\text{rad}=180^\circ$；$\theta_{\text{rad}}=\theta_{^\circ}\cdot \dfrac{\pi}{180}$；$\theta_{^\circ}=\theta_{\text{rad}}\cdot \dfrac{180}{\pi}$。

圆：到定点（圆心）距离相等的点的集合；半径 $r$、直径 $d=2r$；周长 $C=2\pi r$；面积 $S=\pi r^2$。

弧：圆上的一部分；弧长：$L=r\theta$（弧度）；或 $L=2\pi r\cdot \dfrac{\theta}{360^\circ}$（角度）。

$\pi$（圆周率）：圆的周长与直径之比；$\pi\approx3.14159$，常用近似 $3.14$。

平均数：$\overline{x}=\dfrac{\sum x_i}{n}$

中位数：按从小到大排列，奇数个取中间值；偶数个取中间两个数的平均。

众数：出现次数最多的数。

频率：$f_i=\dfrac{n_i}{n}$

长度：$1\,\text{km}=1000\,\text{m}$，$1\,\text{m}=10\,\text{dm}=100\,\text{cm}=1000\,\text{mm}$

重量：$1\,\text{t}=1000\,\text{kg}$，$1\,\text{kg}=1000\,\text{g}$（“公斤”即千克）

时间：$1\,\text{世纪}=100\,\text{年}$，$1\,\text{年}=12\,\text{月}$，$1\,\text{日}=24\,\text{小时}$，$1\,\text{小时}=60\,\text{分}=3600\,\text{秒}$

面积：$1\,\text{km}^2=10^6\,\text{m}^2$，$1\,\text{m}^2=100\,\text{dm}^2=10^4\,\text{cm}^2=10^6\,\text{mm}^2$

面积（相邻单位）：因长度进位“10”平方，面积相邻单位换算“×或÷100”。例如：$1\,\text{dm}^2=100\,\text{cm}^2$，$1\,\text{cm}^2=100\,\text{mm}^2$。

公顷↔平方千米↔平方米：$1\,\text{ha}=0.01\,\text{km}^2=10{,}000\,\text{m}^2$；$1\,\text{km}^2=100\,\text{ha}=1{,}000{,}000\,\text{m}^2$；$1\,\text{m}^2=10^{-4}\,\text{ha}=10^{-6}\,\text{km}^2$。

示例：$2.5\,\text{ha}=0.025\,\text{km}^2=25{,}000\,\text{m}^2$；$3\,\text{km}^2=300\,\text{ha}=3{,}000{,}000\,\text{m}^2$。

亩关系：$1\,\text{公顷}=15\,\text{亩}$；$1\,\text{亩}\approx666.67\,\text{m}^2$。

口诀：分母相同比分子；分子相同比分母；分子分母均不同，转换之后再比较。

同分母比较：若 $b=d$，则 $\dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{b}\iff a>c$

同分子比较：若 $a=c$，则 $\dfrac{a}{b}>\dfrac{a}{d}\iff b

通分比较：例如 $\dfrac{3}{4}$ 与 $\dfrac{2}{3}$，通分为 $\dfrac{9}{12}$ 与 $\dfrac{8}{12}$，故 $\dfrac{3}{4}>\dfrac{2}{3}$

交叉相乘：$\dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{d}\iff ad>bc$

转换为小数/百分数：先化为小数或百分数再比较大小（循环小数取近似）。

倒数比较：倒数大的原分数小，倒数小的原分数大。

相除法：用第一个分数除以第二个分数，商大于 1 则前者大，商小于 1 则前者小，商等于 1 则相等。

约分法：先约分，再比较。

搭桥法：找中间分数辅助判断两者大小。

差等法：分子与分母差相等时，真分数分子分母和大的更大；假分数分子分母和大的更小。例如：$\tfrac{15}{17}<\tfrac{17}{19}$。

化为整数法：通过同乘分母等方法，将其中一个化为整数后比较。